Question

【题目】（基础巩固）

（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝ADAB．

（尝试应用）

（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．

（拓展提高）

（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD＝；（3）5﹣2

【解析】

（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论；

（2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案；

（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案．

解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2＝ADAB；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，∠A＝∠C，

又∵∠BFE＝∠A，

∴∠BFE＝∠C，

又∵∠FBE＝∠CBF，

∴△BFE∽△BCF，

∴，

∴BF2＝BEBC，

∴BC＝＝=，

∴AD＝；

（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，

∵AC∥EF，

∴四边形AEGC为平行四边形，

∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，

∵∠EDF＝∠BAD，

∴∠EDF＝∠BAC，

∴∠EDF＝∠G，

又∵∠DEF＝∠GED，

∴△EDF∽△EGD，

∴，

∴DE2＝EFEG，

又∵EG＝AC＝2EF，

∴DE2＝2EF2，

∴DE＝EF，

又∵，

∴DG＝DF=5，

∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．