Question

【题目】已知，如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ，OC，以下四个结论：①AD=BE；②三角形CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE其中正确的结论有______（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，所以①正确；对应角相等可得∠CAD=∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC=PQ，从而得到△CPQ是等边三角形，所以②正确；再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，求出∠BOA=60°，根据三角形的内角和定理求出∠BPO不是90°，即可判断③；根据三角形面积公式求出CN=CM，根据角平分线性质即可判断④．

解：∵等边△ABC和等边△CDE，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，

∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD与△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，故①小题正确；

∵△ACD≌△BCE（已证），

∴∠CAD=∠CBE，

∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），

∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，

∴∠ACB=∠BCQ=60°，

在△ACP与△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴CP=CQ，

∵∠PCQ=180°-60°-60°=60°，

∴△PCQ是等边三角形，故②小题正确；

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∴∠AOB=∠DAC+∠CEB=∠DAC+∠ADC=∠DCE=60°，

∵○CBE+∠CEB=∠ACB=60°，而BC≠CE，

∴∠CPB≠30°，

∴∠BPD≠90°，

∴③错误；

过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，

∵△BCE≌△ACD，

∴S△BCE=S△ACD，BE=AD，

∴×BE×CM=×AD×CN，

∴CM=CN，

∴OC平分∠AOE，故④正确．

故答案为：①②④．