Question

如图，已知点C是以AB为直径的半圆上的动点，AB=10；连结BC、AC，并延长AC至点D，使DC=AC，过D作DE⊥AB于E，ED交BC于点F．
（1）当∠ABC=27°时，弧AC的长为

 

；
（2）当DE=7时，线段EF的长为

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,弧长的计算

专题：

分析：（1）连接OC，由圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=54°，由直径AB=10，可得半径OA=5，然后利用弧长公式即可求解；
（2）连接DB．根据垂直平分线的性质可得AB=BD=10，根据勾股定理和线段的和差关系可得BE和AE的长，通过AAS证明△BEF∽△DEA，根据相似三角形的性质即可得到EF的长．

解答：解：（1）连接OC，

由圆周角定理可得：∠AOC=2∠ABC=54°，
∵AB=10，
∴OA=5，
∴弧AC的长=

54π×5

180

=

3

2

π，
故答案为：

3

2

π；
（2）连接DB．

∵BC垂直平分AD，
∴AB=BD=10，
∵DE=7，DE⊥AB，
∴BE=

51

，
∴AE=10-

51

，
∵∠FBE+∠BFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠EBF，
∵∠BEF=∠DEA=90°，
∴△BEF∽△DEA，
∴

EF

EB

=

AE

DE

，
∴EF=

10 51 -51

7

．
故答案为：

10 51 -51

7

．

点评：考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．