Question

如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=

1

2

AC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若AC=6，求BF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）连结CD，如图，根据切线的性质得CD⊥AB，再利用扥国药三角形的性质得到∠ACB=∠BCD，由于CF=

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2

AC，CF=CD，则CD=

1

2

AC，于是根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠A=30°，所以∠ACD=60°，于是可得∠ACB=120°；
（2）利用邻补角得到∠BCF=60°，则∠BCF=∠BCD，再证明△BCD≌△BCF得到∠BFC=∠BDC=90°，BF=BD，所以BF=AD，然后在Rt△ACD中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出AD，从而得到BF的长．

解答：解：（1）连结CD，如图，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
而CA=CB，
∴CD平分∠ACB，
即∠ACB=∠BCD，
∵CF=

1

2

AC，
而CF=CD，
∴CD=

1

2

AC，
∴∠A=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACB=2∠ACD=120°；
（2）∵∠BCF=180°-∠ACB=60°，
∴∠BCF=∠BCD，
在△BCD和△BCF中，

CD=CF ∠BCD=∠BCF BC=BC

∴△BCD≌△BCF，
∴∠BFC=∠BDC=90°，BF=BD，
∴BF=AD，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=6，
∴CD=

1

2

AC=3，
∴AD=

3

CD=3

3

，
∴BF=3

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．