Question

如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°．AH⊥BC于点H，HA的延长线交DE于G．求证：GD=GE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在BC上截取BF=AG，易证△ABF≌△ADG，可得DG=AF和∠DGA=∠BFA，即可求证△ACF≌△AEG，可得GE=AF，即可解题．

解答：证明：在BC上截取BF=AG，
∵∠BAD=∠CAE=∠AHB=∠AHC=90°
∴∠BAH+∠ABC=∠BAH+∠DAG=∠CAH+∠BCA=∠CAH+∠EAG=90°
∴∠CBA=∠DAG，∠BCA=∠EAG
∵在△ABF和△ADG中，

AB=AD ∠CBA=∠DAG AG=BF

，
∴△ABF≌△ADG，（SAS）
∴DG=AF，∠DGA=∠BFA，
∴∠EGA=∠CFA，
∵在△ACF和△AEG中，

∠EGA=∠CFA ∠BCA=∠EAG AC=AE

，
∴△ACF≌△AEG（AAS）
∴GE=AF=GD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABF≌△ADG和△ACF≌△AEG，是解题的关键．