Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）S阴影＝2﹣ π．

【解析】

（1）连接OD，求出∠OAD＝60°，得出等边三角形OAD，求出AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，求出∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，求出∠ODC＝90°，根据切线的判定得出即可；

（2）求出OD，根据勾股定理求出CD长，分别求出三角形ODC和扇形AOD的面积，相减即可．

（1）证明：连接OD，

∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，

∴∠OAD＝∠BAC＝60°，

∵OD＝OA，

∴△OAD是等边三角形，

∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，

∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，

∴∠ODC＝60°+30°＝90°，

即OD⊥DC，

∵OD为半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴OD＝OA＝AC＝AB＝2，

由勾股定理得：CD＝

∴S阴影＝S△ODC﹣S扇形AOD＝ ．