Question

如图（1），△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E、F分别在边AC，BC上，∠EDP=90°，则DE与DF的数量关系为

 

．
（2）如图（2），△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，求证：DE=DF，DE⊥DF．
（3）如图（3），△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA延长线上．直接写出线段DE与DF的位置关系和数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，∠A=∠DCF=45°，根据同角的余角相等求出∠ADE=∠CDF，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，∠CAD=∠ACD=45°，再求出∠DAE=∠DCF=135°，根据平移的性质可得CF=EG，CF∥EG，再求出∠AGE=∠EAG=45°，根据等角对等边可得EG=AE，从而得到AE=CF，再利用“边角边”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，∠ADE=∠CDF，再求出∠EDF=∠ADC；
（3）求出∠ACD=∠B=30°，然后求出

CD

AD

=

3

，再求出∠DAE=∠DCF=120°，根据平移的性质EG=FC，再求出

CF

AE

=

3

，然后利用两组边对边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求出△DAE和△DCF相似，根据相似三角形对应边成比例可得DF=

3

DE，相似三角形对应角相等可得∠ADE=∠CDF，然后求出∠EDF=90°．

解答：（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=CD，∠A=∠DCF=45°，
∵∠EDP=90°，
∴∠ADE+∠CDE=∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠A=∠DCF AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF；
故答案为：DE=DF；

（2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴DA=DB=DC，∠ABC=∠BAC=∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAE=∠DCF=135°，
由平移可知CF=EG，CF∥EG，
∴∠AGE=∠EAG=45°，
∴EG=AE，
∴AE=CF，
在△ADE和△CDF中，

AD=CD ∠DAE=∠DCF AE=CF

，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠FDE=∠CDA=90°，
∴DE⊥DF，
故DE=DF，DE⊥DF；

（3）解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴

CD

AD

=

3

，∠DAE=∠DCF=120°，
由平移的性质得，EG=FC，EG∥FC，
∴∠AGE=90°-∠GAE=90°-60°=30°，
∴

CF

AE

=

EG

AE

=

3

，
∴

CD

AD

=

CF

AE

=

3

，
又∵∠DAE=∠DCF，
∴△DAE∽△DCF，
∴

DF

DE

=

CD

AD

=

3

，∠ADE=∠CDF，
∴DF=

3

DE，∠EDF=∠ADE+∠GDF=∠CDF+∠GDF=∠ADC=90°，
故DF=

3

DE，DE⊥DF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，此类题目，（2）（3）利用相同的思路求解是解题的关键．