Question

【题目】如图，y轴上有一点A（0，1），点B是x轴上一点，∠ABO＝60°，抛物线y＝﹣x2++3与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．

（1）将点C向右平移个单位得到点E，过点E作直线l⊥x轴，点P为y轴上一动点，过点P作PQ⊥y轴交直线l于点Q，点K为抛物线上第一象限内的一个动点，当△ABK面积最大时，求KQ+QP+PE的最小值，及此时点P的坐标；

（2）在（1）的条件下，将线段PE绕点P逆时针旋转90°后得线段PE′，问：在第一象限内是否存在点S，使得△SPE'是有一个角为60°，且以线段PE′为斜边的直角三角形，若存在请直接写出所有满足条件的点S，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）7，(0，)；（2）存在，S2(，)，S3(，)，S4(，)

【解析】

（1）解直角三角形求出OB，求出直线AB的解析式，构建方程组转化为一元二次方程，利用△＝0，确定点K的坐标，如图1中，点K向右平移一个单位得到K′（2，3），连接K′E，则KQ+QP+PE的最小值＝K′E+QP，再求出EK′的解析式即可求出点P的坐标．

（2）由（1）可知E（﹣1，0），P（0，），将PE绕点P逆时针旋转90°得到PE′，可得E′（，﹣1），以PE′为边作等边三角形PE′N，等边三角形PE′M，可得M（0，﹣2），N（，+1），此时四边形PME′N是菱形，取各边的中点S1，S2，S3，S4，可得△PE′S1，△PE′S2，△PE′S3，△PE′S4都是含有60°且以PE′为斜边的直角三角形，再根据点S在第一象限，即可解决问题．

解：（1）由题意在Rt△AOB中，∵OA＝1，∠ABO＝60°，

∴BO＝OA＝，

∴B（，0），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（0，1），B（，0）代入可得

，解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，

对于抛物线y＝﹣x2+x+3，令y＝0，得到x2﹣x﹣3＝0，解得x＝，

则C（，0），D（，0），

将点C向右平移个单位得到E（﹣1，0），

设平行于AB的解析式为y＝﹣x+m，

由，

消去y得到﹣x2+2x+3﹣m＝0，

由△＝0得到m＝﹣4，xk＝﹣1，yk＝3，

则K（1，3），

如图1中，点K向右平移一个单位得到K′（2，3），连接K′E，

则KQ+QP+PE的最小值＝K′E+QP＝，

∵E（﹣1，0），K′（2，3），

∴直线EK′的解析式为y＝x+，

∴P（0，）．

（2）如图2中，

由（1）可知E（﹣1，0），P（0，），将PE绕点P逆时针旋转90°得到PE′，可得E′（，﹣1），

以PE′为边作等边三角形PE′N，等边三角形PE′M，

可得M（0，﹣2），N（，+1），此时四边形PME′N是菱形，取各边的中点S1，S2，S3，S4，可得△PE′S1，△PE′S2，△PE′S3，△PE′S4都是含有60°且以PE′为斜边的直角三角形，

∵点S在第一象限，

∴满足条件的点S2（，），S3（，），S4（，）．