Question

如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABE，求证：DE²=DF•DB；

（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．

Answer 1

解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，

∴∠EAB=∠CBE，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）证明：∵BD平分∠ABE，

∴∠ABD=∠DBE，=，

∴∠DEA=∠DBE，

∵∠EDB=∠BDE，

∴△DEF∽△DBE，

∴=，

∴DE²=DF•DB；

（3）解：连接DA、DO，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠EBD=∠OBD，

∴∠EBD=∠ODB，

∴OD∥BE，

∴=，

∵PA=AO，

∴PA=AO=OB，

∴=

∴=，

∴=，

∵DE=2，

∴PD=4，

∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，

∴∠PDA=∠ABE，

∵OD∥BE，

∴∠AOD=∠ABE，

∴∠PDA=∠AOD，

∵∠P=∠P，

∴△PDA∽△POD，

∴=，

设OA=x，

∴PA=x，PO=2x，

∴=，

∴2x²=16，x=2，

∴OA=2．