Question

12．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点O作OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，过点F作FG⊥BC于点G，则△ABC与△FGC是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理证明△ABC与△FGC是位似图形，根据相似三角形的性质求出相似比．

解答 解：△ABC与△FGC是位似图形，
∵OE⊥BC，FG⊥BC，
∴OE∥FG，又OF、EG的连线相交于点C，
∴△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，OB=OD，又OE⊥BC，
∴OE∥CD，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$CD，
∵OE∥CD，
∴$\frac{OF}{FC}$=$\frac{OE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{CF}{CO}$=$\frac{2}{3}$，
∴△ABC与△FGC的相似比是3．

点评 本题考查的是位似变换的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．