Question

如图，在△PAB中，点C、D在边AB上，PC=PD=CD，∠APB=120°．
（1）试说明△APC与△PBD相似．
（2）若CD=1，AC=x，BD=y，请你求出y与x之间的函数关系式．
（3）小明猜想：若PC=PD=1，∠CPD=α，∠APB=β，只要α与β之间满足某种关系式，问题（2）中的函数关系式仍然成立．你同意小明的观点吗？如果你同意，请求出α与β所满足的关系式；若不同意，请说明理曲．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由条件可证明△PCD为等边三角形，结合∠APB=120°可得到∠A=∠BPD，可证明△APC∽△PBD；
（2）利用（1）的结论可得到对应边成比例，把条件代入可得到y与x之间的关系；
（3）由条件可知当关系成立时则有△APC∽△PBD，可得到∠A=∠CPB，再结合外角和三角形内角和可找到α和β之间的关系式．

解答：解：
（1）∵PC=PD=CD，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠BDP=120°，
∵∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°，
∴∠A=∠BPD，
∴△APC∽△PBD；
（2）由（1）得△APC∽△PBD，
∴

AC

PC

=

PD

BD

，
∴

x

1

=

1

y

，即y=

1

x

（x＞0）；
（3）同意，α和β的关系式为α+2β=180°．
过程如下：
∵PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC，
∴∠PCA=∠PDB，
当

AC

PC

=

PD

BD

时，则有△APC∽△PBD，
∴∠A=∠DPB，
∵∠APC+∠DPB=∠APB-∠CPD=β-α，
∴∠PCD=∠PDC=∠A+∠APC=β-α，
在△PCD中，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，
∴β-α+β-α+α=180°，即α+2β=180°．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．