Question

如图，PA，PB是半径为2的⊙O的两条切线，点A，B分别为切点，∠APB=60°，连接OP与弦AB相交于点C，与⊙O交于点D．
（1）求弦AB的长；
（2）求出阴影部分的面积；（结果保留π）
（3）连接DB，求证：S_△PBD=2S_△BOC．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）由PA、PB是半径为2的⊙O的两条切线，得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，而∠APB=60°，得∠APO=30°，∠POA=90°-30°=60°，而OP垂直平分AB，通过解直角三角形从而得到AC=

3

2

OA=

3

，进而求得AB的长；
（2）根据S_阴影部分=

1

2

（S_扇形OAB-S_△OAB）应用扇形的面积公式和三角形的面积公式计算即可．
（3）根据含30°的直角三角形的性质求得OD=PD，然后证得△OBD是等边三角形，进而求得OC=CD=

1

2

OD，得出PD=2OC，根据三角形面积公式即可证得结论．

解答：解：（1）∵PA、PB是半径为2的⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∵∠APB=60°，
∴∠APO=30°，∠POA=90°-30°=60°，∠AOB=120°，
又∵OP垂直平分AB，
∴OC=

1

2

OA=1，AC=

3

2

OA=

3

，
∴AB=2

3

；

（2）S_阴影部分=

1

2

（S_扇形OAB-S_△OAB）=

1

2

（

120π×22

360

-

1

2

×2

3

×1）=

2π

3

+

3

2

；

（3）∵∠OPB=30°，∠OBP=90°，
∴OB=

1

2

OP，
∵OB=OD，
∴OD=PD，
∵∠POB=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∵OP垂直平分AB，
∴OC=CD=

1

2

OD，
∴PD=2OC，
∵S_PBD=

1

2

PD•BC，S_△BOC=

1

2

OC•BC，
∴S_△PBD=2S_△BOC．

点评：本题考查了切线的性质，扇形的面积，含30°的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及三角形的面积等，熟练应用性质定理是解题的关键．