Question

【题目】定义：在三角形中，把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距．
例：如图①，在△ABC中，D为边BC的中点，AE⊥BC于E，则线段DE的长叫做边BC的中垂距．

（1）设三角形一边的中垂距为d（d≥0）．若d=0，则这样的三角形一定是 ， 推断的数学依据是 ．
（2）如图②，在△ABC中，∠B=45°，AB= ，BC=8，AD为边BC的中线，求边BC的中垂距．

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结AC．求△ACF中边AF的中垂距．

Answer 1

【答案】
（1）等腰三角形,线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等
（2）解：如图②中，作AE⊥BC于E．

在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，AB=3 ，

∴AE=BE=3，

∵AD为BC边中线，BC=8，

∴BD=DC=4，

∴DE=BD﹣BE=4﹣3=1，

∴边BC的中垂距为1

（3）解：如图③中，作CH⊥AF于H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠EHC=∠ECF=90°，AD∥BF，

∵DE=EC，∠AED=∠CEF，

∴△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，

在Rt△ADE中，∵AD=4，DE=3，

∴AE= =5，

∵∠D=EHC，∠AED=∠CEH，

∴△ADE∽△CHE，

∴ = ，

∴ = ，

∴EH= ，

∴△ACF中边AF的中垂距为

【解析】解：（1）三角形一边的中垂距为d（d≥0）．若d=0，则这样的三角形一定是等腰三角形，推断的数学依据是线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等．

所以答案是等腰三角形，线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等．

【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和矩形的性质，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能得出正确答案．