Question

已知关于x的一元二次方程（a﹣c）x²﹣2bx+（a+c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

【考点】根的判别式；一元二次方程的解；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．

【分析】（1）根据根的定义，把x=1代入即可得出△ABC的形状；

（2）根据根的判别式得出b²﹣4ac=0，即可得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．

【解答】解：（1）∵x=1是一元二次方程（a﹣c）x²﹣2bx+（a+c）=0的根，

∴（a﹣c）﹣2b+（a+c）=0，

∴a=b，

∵a﹣c≠0，

∴a≠c，

∴△ABC为等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴b²﹣4ac=0，

即4b²﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴b²+c²=a²，

∴△ABC为直角三角形．

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握各个定理的内容是解题的关键．