Question

5．如图，正方形ABCD，点E是DC上一点，点F是AD上一点，且AF＞DF，EF=EC，FG⊥EF交AB于点G，连接CF、CG，若△CFG的面积为15，BC=6，则AF的长度是4．

Answer 1

分析 连接EG，设CE=EF=x，则DE=6-x，设AF=y，则DF=6-y，证△DEF∽△AFG得$\frac{DE}{AF}$=$\frac{EF}{FG}$，即可知FG=$\frac{xy}{6-x}$，根据S_△FCG=S_△EFG+S_△CEG-S_△CEF得x=$\frac{30}{y+5}$，将其代入到DE²+DF²=EF²即（6-x）²+（6-y）²=x²中可得y³-7y²+12y=0，解之即可得．

解答 解：如图，连接EG，

设CE=EF=x，则DE=6-x，
设AF=y，则DF=6-y，
∵EF⊥FG，
∴∠1+∠2=90°，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴△DEF∽△AFG，
∴$\frac{DE}{AF}$=$\frac{EF}{FG}$，即$\frac{6-x}{y}=\frac{x}{FG}$，
∴FG=$\frac{xy}{6-x}$，
∵S_△FCG=S_△EFG+S_△CEG-S_△CEF，且S_△FCG=15，
∴$\frac{1}{2}$•x•$\frac{xy}{6-x}$+$\frac{1}{2}$•x•6-$\frac{1}{2}$•x•（6-y）=15，整理得x=$\frac{30}{y+5}$ ①，
又∵DE²+DF²=EF²，
∴（6-x）²+（6-y）²=x²，整理得y²-12x-12y+72=0 ②，
将①代入②，整理得：y³-7y²+12y=0，即y（y-3）（y-4）=0，
∴y=0（舍）或y=3或y=4，
∵AF＞DF，即y＞6-y，
解得：y＞3，
∴y=4，即AF=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查相似形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理及割补法求三角形的面积等知识点，根据三角形的面积及勾股定理建立关于CE、AF的方程是解题的关键．