Question

10．如图，在半径为2的⊙O中，AB=2$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{2}$，AB与CD交于点E，延长AC、DB交于点F，则∠F=75°．

Answer 1

分析 作辅助线，根据直径所对的圆周角是90°，得到直角△ABH和直角△CDG，利用勾股定理计算DG和BH的长，得到∠CGD=45°，∠HAB=30°，再利用四点共圆的性质得∠DCF=∠DGA，再根据同弧所对的圆周角相等和三角形的内角和求出∠F的度数．

解答 解：作直径CG、AH，交⊙O于G、H，连接AG、DG、BH，
∴∠CDG=∠ABH=90°，
∵AB=2$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{2}$，CG=AH=4，
由勾股定理得：DG=$\sqrt{C{G}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
BH=$\sqrt{A{H}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴DG=CD，BH=$\frac{1}{2}$AH，
∴∠CGD=45°，∠HAB=30°，
∴∠AHB=60°，
∵A、C、D、G四点共圆，
∴∠DCF=∠DGA=∠AGC+∠CGD=∠AGC+45°，
∵∠AHB=∠AGC+∠CDF，∠CDF=∠FAB，
∴∠AHB=∠AGC+∠FAB=60°，
在△DCF中，∠F=180°-∠DCF-∠CDF，
=180°-∠AGC-45°-∠FAB，
=180°-45°-60°，
=75°，
故答案为：75°．

点评 本题考查了圆周角定理和四点共圆的性质，熟知在同圆或等圆中：①直径所对的圆周角是90°，②同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的对角互补；本题还运用勾股定理求边长，利用边的特殊关系得到等腰直角三角形和30°的直角三角形，从而得出结论．