Question

18．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，若方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

分析 根据待定系数法求二次函数的解析式，并根据公式求顶点坐标的纵坐标，当方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，即直线y=k与抛物线有两个交点，从而得出k的取值．

解答 解：由对称性得：抛物线与x轴正半轴的交点坐标为（1，0），
由图象得抛物线与y轴交点为（0，1.5），
把（-3，0）、（0，1.5）、（1，0）分别代入y=ax²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=1.5}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=1.5}\end{array}\right.$，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-\frac{1}{2}）×1.5-（-1）^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=2，
则方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，k＜2．

点评 本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系，同时还考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线是轴对称图形，根据对称性可以求抛物线上点的坐标，解好本题还要熟练掌握顶点坐标公式：（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）；方程ax²+bx+c=k的解的情况由图象与y=k的交点个数确定，反之k的取值也决定了方程解的情况．