Question

19．抛物线y=ax²+mx+a+2m经过点A（-1，0），B（x，0），交y轴负半轴且S_△ABC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过D（0，-1）作直线l交抛物线于M，N两点，若S_△NDC=8S_△MDC，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据韦达定理知$\left\{\begin{array}{l}{-1+x=-\frac{m}{a}}\\{-1•x=\frac{a+2m}{a}}\end{array}\right.$，从而求出x的值，即点B的坐标，得出AB的值，由S_△ABC=6可得点C的坐标，将A、C坐标代入解析式可得答案；
（2）设点M（a，a²-2a-3）（a＜0），由S_△NDC=8S_△MDC知点N点的坐标为（-8a，64a²+16a-3），根据直线l过D（0，-1），可设设直线l解析式为y=kx-1，将点M、N坐标代入解析式，解方程组即可得k，得出答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+mx+a+2m经过点A（-1，0），B（x，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+x=-\frac{m}{a}}\\{-1•x=\frac{a+2m}{a}}\end{array}\right.$，
解得：x=3，
∴点B坐标为（3，0），
∴AB=1+3=4
∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}$•AB•OC=6，即$\frac{1}{2}$×4•OC=6，
解得：OC=3，
即点C坐标为（0，-3），
将点A（-1，0）、C（0，-3）代入y=ax²+mx+a+2m，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a-m+a+2m=0}\\{a+2m=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{m=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）根据题意，设点M（a，a²-2a-3）（a＜0），
∵S_△NDC=8S_△MDC，
∴点N点的坐标为（-8a，64a²+16a-3），
∵直线l过D（0，-1），
∴设直线l解析式为y=kx-1，
将M、N代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{ka-1={a}^{2}-2a-3}\\{-8ka-1=64{a}^{2}+16a-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{k=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-1．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式，根据韦达定理求得点B的坐标及由面积间的关系设出点M、N的坐标是解题的关键．