Question

19．?ABCD中，E、F分别是CD、AD边上的点，且AE=CF，AE，CF交于点P，求证：PB平分∠APC．

Answer 1

分析 连接BF、BE，作BM⊥CF，BN⊥AE垂足分别为M、N，根据S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}先证明S_△ABE=S_△BCF，可以得到BM=BN，由此可以解决问题．

解答 证明：如图连接BF、BE，作BM⊥CF，BN⊥AE垂足分别为M、N．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，
∴S_△ABE=S_△BCF，
∴$\frac{1}{2}$•AE•BN=$\frac{1}{2}$•CF•BM，
∵AE=CF，
∴BM=BN，
∴PB平分∠APC．

点评 本题考查平行四边形的性质、三角形的面积公式，角平分线的判定定理等知识，解题的关键添加辅助线以及△ABE和△BCF面积相等的证明，属于中考常考题型．