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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分∠DAB,ADCD,垂足为D,AD交⊙O于点E,连接CE.

(1)判断CD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;

(2)E是弧AC的中点,⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)CD与圆O相切,证明见解析;(2)

【解析】

(1)只要证明OCAD即可解决问题.
(2)只要证明四边形AECO是菱形,∠DEC=DAO=60°,根据S阴影=SDEC即可解决问题.

(1)CD与圆O相切,理由如下:

AC为∠DAB的平分线,

∴∠DAC=BAC,

OA=OC,

∴∠OAC=OCA,

∴∠DAC=OCA,

OCAD,

ADCD,

OCCD,

CD与圆O相切;

(2)连接EB,交OCF,

AB为直径,

∴∠AEB=90°,

EBCD,

CD与⊙O相切,C为切点,

OCCD,

OCAD,

∴∠EAC=ACO,

∵弧AE=EC,

AE=EC,

∴∠EAC=ECA,

OA=OC,

∴∠OAC=OCA,

∴∠ECA=OAC,

ECOA,

∴四边形AECO是平行四边形,

OA=OC,

∴四边形AECO是菱形,

AE=EC=OA=OC=2,易知∠DEC=DAO=60°,

DE=EC=1,DC=DE=

∵点OAB的中点,∴OFΔABE的中位线,

OF=AE=1,即CF=DE=1,在RtΔOBF中,根据勾股定理得:EF=FB=DC=

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