Question

【题目】如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP＝BQ，过点B作PC的垂线，垂足为点H，连接HD、HQ. （14分）

(1)图中有________对相似三角形；

(2)若正方形ABCD的边长为1，P为AB的三等分点，求△BHQ的面积；

(3)求证：DH⊥HQ.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）（）证明见解析.

【解析】试题分析：(1)、根据角度之间的关系得出相似三角形；(2)、过点H作HE⊥BC于点E，根据P为三等分点得出BP=BQ=，根据Rt△PBC的勾股定理以及相似三角形求出BH的长度，根据Rt△BHC的勾股定理以及三角形相似求出HE的长度，从而得出△BHQ的面积；(3)、根据Rt△PBC∽Rt△BHC得出∠HBQ＝∠HCD，从而的得出△HBQ∽△HCD，即∠BHQ＝∠DHC，最后根据∠BHQ＋∠QHC＝90°，∠QHC＋∠DHC＝∠QHD＝90°得出垂直．

试题解析：(1)、解：4；

(2)、解：过点H作HE⊥BC于点E， ∵正方形ABCD的边长为1，P为AB的三等分点，

∴BP＝BQ＝.

在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝， ∵BP·BC＝BH·PC，∴BH＝＝，

在Rt△BHC中，由勾股定理得CH＝， ∵BH·CH＝HE·BC，∴HE＝＝，

∴△BHQ的面积为EH·BQ＝××＝；

(3)、证明：∵∠PBC＝∠CHB＝90°，∠BCH＝∠PCB，

∴Rt△PBC∽Rt△BHC，∴＝， 又∵BP＝BQ，BC＝DC，∴＝，∴＝，

∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠BCH＝∠BCH，∴∠HBQ＝∠HCD，

在△HBQ与△HCD中，∵＝，∠HBQ＝∠HCD， ∴△HBQ∽△HCD，∴∠BHQ＝∠DHC， ∴∠BHQ＋∠QHC＝∠DHC＋∠QHC，

又∵∠BHQ＋∠QHC＝90°， ∴∠QHC＋∠DHC＝∠QHD＝90°，即DH⊥HQ．