Question

16．如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．
（1）求⊙O的半径；
（2）如果弦AB的两个端点在圆周上滑动，那么弦AB中点形成的图形为以O为圆心，以2$\sqrt{3}$cm为半径的圆周．

Answer 1

分析 （1）连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，根据垂径定理求出AD，求出CD，根据勾股定理求出OD，在△ADO中根据勾股定理求出OA即可；
（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以2$\sqrt{3}$cm为半径的圆周．

解答 解：（1）连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，
∵AC=4，CB=8，
∴AB=12．
∵OD⊥AB，
∴AD=DB=6，
∴CD=2，
在Rt△CDO中，∠CDO=90°，OC=4，CD=2，
∴OD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ADO中，∠ADO=90°，由勾股定理得：OA=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半径是4$\sqrt{3}$；

（2）∵如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是2$\sqrt{3}$cm，
∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O为圆心，以2$\sqrt{3}$cm为半径的圆周．
故答案为：以O为圆心，以2$\sqrt{3}$cm为半径的圆周．

点评 本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．