Question

1．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，则点P₁与点P₂的“非常距离”为|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，则点P₁与点P₂的“非常距离”为|y₁-y₂|．
例如：点P₁（1，2），点P₂（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P₁与点P₂的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P₁Q与线段P₂Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P₁Q与垂直于x轴的直线P₂Q交点）．

（1）已知点A（-$\frac{1}{2}$，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C是直线y=$\frac{3}{4}$x+3上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为（0，y）．因为|-$\frac{1}{2}$-0|≥|0-y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|-$\frac{1}{2}$-0|=$\frac{1}{2}$；
（2）①设点C的坐标为（x₀，$\frac{3}{4}$x₀+3）．根据材料“若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，则点P₁与点P₂的“非常距离”为|x₁-x₂|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x₀=$\frac{3}{4}$x₀+2，据此可以求得点C的坐标；
②当点E在过原点且与直线y=$\frac{3}{4}$x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．解答思路同上．

解答 解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|-$\frac{1}{2}$-0|=$\frac{1}{2}$≠2，
∴|0-y|=2，
解得y=2或y=-2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，-2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为$\frac{1}{2}$；

（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，则点P₁与点P₂的“非常距离”为|x₁-x₂|”解答，此时|x₁-x₂|=|y₁-y₂|．即AC=AD，
∵C是直线y=$\frac{3}{4}$x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x₀，$\frac{3}{4}$x₀+3），
∴-x₀=$\frac{3}{4}$x₀+2，
此时，x₀=-$\frac{8}{7}$，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x₀|=$\frac{8}{7}$，
此时C（-$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$）；
②当点E在过原点且与直线y=$\frac{3}{4}$x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E（x，y）（点E位于第二象限）．则
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=-\frac{4}{3}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
故E（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
-$\frac{3}{5}$-x₀=$\frac{3}{4}$x₀+3-$\frac{4}{5}$，
解得x₀=-$\frac{8}{5}$，
则点C的坐标为（-$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$），最小值为1．

点评 本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．