Question

16．若x₁和x₂分别是一元二次方程2x²+5x-3=0的两根．
（1）求|x₁-x₂|的值；
（2）求$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$的值；
（3）x₁³+x₂³．

Answer 1

分析 （1）先利用根与系数的关系得到两根之和及两根之差，再对要求的代数式变形，把数值代入求解即可；
（2）先通分，再把分子利用完全平方公式变形，代入求得答案即可；
（3）利用立方和公式把代数式因式分解，再变形，再利用根与系数的关系即可求解．

解答 解：∵x₁和x₂分别是一元二次方程2x²+5x-3=0的两根．
∴x₁+x₂=-$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{3}{2}$．
（1）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{7}{2}$
（2）$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{{x}_{1}^{2}x}_{2}^{2}}$
=$\frac{37}{9}$
（3）x₁³+x₂³=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）
=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]
=-$\frac{5}{2}$×$\frac{43}{8}$
=-$\frac{215}{8}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．