Question

12．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数$y=-\frac{2}{3}x+b$的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE．点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；
（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；
（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；
四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．

解答 解：（1）$y=-\frac{2}{3}x+b$中，令x=0，解得y=b，则D的坐标是（0，b），OD=b，
∵OD=BE，
∴BE=b，则E的坐标是（3，4-b），
把E的坐标代入$y=-\frac{2}{3}x+b$得4-b=-2+b，
解得：b=3；
（2）S_{四边形OAED}=$\frac{1}{2}$（OD+AE）•OA=$\frac{1}{2}$×（3+1）×3=6，
∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，
∴S_△ODM=1.5．
设M的横坐标是a，则$\frac{1}{2}$×3a=1.5，
解得：a=1，
把x=a=1代入y=-$\frac{2}{3}$x+3得y=-$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$+3=$\frac{7}{3}$．
则M的坐标是（1，$\frac{7}{3}$）；
（3）当四边形OMDN是菱形时，如图（1），M的纵坐标是$\frac{3}{2}$，把y=$\frac{3}{2}$代入y=-$\frac{2}{3}$x+3，得-$\frac{2}{3}$x+3=$\frac{3}{2}$，解得：x=$\frac{9}{4}$，
则M的坐标是（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$），
则N的坐标是（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）；
当四边形OMND是菱形时，如图（2）OM=OD=3，设M的横坐标是m，则纵坐标是-$\frac{2}{3}$m+3，
则m²+（-$\frac{2}{3}$m+3）²=9，
解得：m=$\frac{36}{13}$或0（舍去）．
则M的坐标是（$\frac{36}{13}$，$\frac{15}{13}$）．
则DM的中点是（$\frac{18}{13}$，$\frac{27}{13}$）．
则N的坐标是（$\frac{36}{13}$，$\frac{54}{13}$）．
故N的坐标是（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{36}{13}$，$\frac{54}{13}$）．

点评 本题是一次函数与菱形的判定与性质的综合题，主要考查了菱形的判定方法，正确根据菱形的性质求得M的坐标是解决本题的关键．