[情境阅读]在图1中.点A在边OB上.点D在边OC上.且AD∥BC﹒将这样的图形定义为“A型 ﹒将△OAD绕着点O旋转α°得到新的图形.将图2中的四边形A′B′C′D′称为“准梯形 .A′D′称为上底.B′C′称为下底﹒[新知学习](1)若情境阅读中的△OBC是等腰直角三角形.OB=OC.∠BOC=90°.其余条件不变﹒①请说明图2中的△O′A′B′≌△O′D′C′﹒②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．【情境阅读】
在图1中，点A在边OB上，点D在边OC上，且AD∥BC﹒将这样的图形定义为“A型”﹒将△OAD绕着点O旋转α°（0＜α＜90）得到新的图形（如图2），将图2中的四边形A′B′C′D′称为“准梯形”，A′D′称为上底，B′C′称为下底﹒
【新知学习】
（1）若情境阅读中的△OBC是等腰直角三角形，OB=OC，∠BOC=90°，其余条件不变﹒
①请说明图2中的△O′A′B′≌△O′D′C′﹒
②在图1中，S_{四边形ABCD}=S_△OBC-S_△OAD，请探索图2中的S_{四边形A′B′C′D′}与图1中的S_{四边形ABCD}的大小关系﹒【变式探究】
（2）如图3，四边形ABCD是由有一个角是60°的“A型”通过旋转变换得到的“准梯形”，AD是上底，BC是下底，且AB=5，BC=8，CD=5，DA=2﹒求这个“准梯形”的面积．
【迁移拓展】
（3）如图4是由具有公共直角顶点的“A型”绕着直角定点旋转α°（0＜α＜90）得到的“准梯形”，斜边AD为上底，斜边BC为下底，且AB=3，BC=4$\sqrt{5}$，CD=6，AD=3$\sqrt{5}$．求这个“准梯形”的面积．

分析（1）①首先根据AD∥BC，可得$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，据此推得OA=OD，O′A′=O′D′；然后推得O′B′=O′C′，∠A′O′B′=∠D′O′C′=α°，根据全等三角形判定的方法，即可推得△O′A′B′≌△O′D′C′．
②首先根据△O′A′B′≌△O′D′C′，推得S_{△O′A′B′}=S_{△O′D′C′}；然后根据S_{四边形A′B′C′D′}=S_{△O′B′C′}+S_{△O′D′C′}-S_{△O′A′B′}-S_{△O′A′D′}，推得S_{四边形A′B′C′D′}=S_{四边形ABCD}即可．
（2）首先连接OA、OB、OC、OD，构造等边三角形OBC和等边三角形OAD；然后用等边三角形OBC的面积减去等边三角形OAD的面积，求出四边形ABCD的面积即可．
（3）首先连接OA、OB、OC、OD，根据$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{3}{4}$，判断出OA=$\frac{3}{4}OB$，OD=$\frac{3}{4}$OC；然后用直角三角形OBC的面积减去直角三角形OAD的面积，求出四边形ABCD的面积即可．

解答（1）①证明：如图2，

∵AD∥BC，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，
∵OB=OC，
∴OA=OD，
∴O′A′=O′D′，
∵OB=OC，
∴O′B′=O′C′，
∠A′O′B′=∠D′O′C′=α°，
在△O′A′B′和△O′D′C′中，
$\left\{\begin{array}{l}{O′A′=O′D′}\\{∠A′O′B′=∠D′O′C′}\\{O′B′=O′C′}\end{array}\right.$，
∴△O′A′B′≌△O′D′C′﹒

②解：∵△O′A′B′≌△O′D′C′，
∴S_{△O′A′B′}=S_{△O′D′C′}，
∴S_{四边形A′B′C′D′}=S_{△O′B′C′}+S_{△O′D′C′}-S_{△O′A′B′}-S_{△O′A′D′}
=（S_{△O′B′C′}-S_{△O′A′D′}）+（S_{△O′D′C′}-S_{△O′A′B′}）
=S_△OBC-S_△OAD
=S_{四边形ABCD}
∴S_{四边形A′B′C′D′}=S_{四边形ABCD}．

（2）解：如图3，连接OA、OB、OC、OD，
，
设OA=OD，OB=OC，
∵OA=OD，∠AOD=60°，
∴OA=OD=AD=2，
∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴OB=OC=BC=8，
∴S_{四边形ABCD}=S_△OBC-S_OAD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（8²-2²）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×60=15$\sqrt{3}$．

（3）解：如图4，连接OA、OB、OC、OD，
，
∵$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{3}{4}$，
∴OA=$\frac{3}{4}OB$，OD=$\frac{3}{4}$OC，
∵∠BOC=90°，BC=4$\sqrt{5}$，
∴令0B=4，OC=8，
则OA=$\frac{3}{4}OB$=$\frac{3}{4}×4=3$，OD=$\frac{3}{4}$OC=$\frac{3}{4}×8$=6，
∴S_{四边形ABCD}=S_△OBC-S_OAD=4×8÷2-3×6÷2=16-9=7．

点评（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了空间想象能力的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，以及直角三角形的性质的应用，要熟练掌握．

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A．

5$\sqrt{2}$

B．

3$\sqrt{5}$-6

C．

3$\sqrt{6}$-5

D．

2$\sqrt{10}$-6

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