Question

6．已知二次函数y=x²+bx+c，其图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，点D为顶点．
（1）求此二次函数关系式及顶点坐标；
（2）连接BC、BD，M、N分别为BC、BD的中点，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，0），B（3，0）分别代入抛物线y=x²+bx+c，求出b和c的，进而可求出二次函数关系式及顶点坐标；
（2）连接CD，由已知条件可知MN是△BDC的中位线，利用中位线定理即可求出MN的长．

解答 解：（1）把点A（1，0），B（3，0）分别代入抛物线y=x²+bx+c得
$\left\{\begin{array}{l}{0=1+b+c}\\{0=9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=x²-4x+3，
∴顶点D的坐标为（2，-1）；
（2）∵M、N分别为BC、BD的中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$CD，
∵C（0，3），D（2，-1），
∴DC=$\sqrt{（2-0）^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴MN=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数图象和x轴交点的问题以及利用待定系数法求抛物线解析式、勾股定理的运用、三角形中位线定理的运用，题目难度不大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错．