Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．

（1）求证：AE为⊙O的切线．

（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．

（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．

Answer 1

【考点】圆的综合题．

【专题】证明题．

【分析】（1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到=，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；

（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．

【解答】（1）证明：连接OM．

∵AC=AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切线；

 

（2）设⊙O的半径为R，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴=即=，

解得R=3，

∴⊙O的半径为3；

 

（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，

∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，

∴四边形OMEH是矩形，

∴HE=OM=3，

∴BH=1，

∴BG=2BH=2．

【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．