Question

如图，已知抛物线经过点A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=

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EF，请求出点P的坐标；
（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-因式分解法,根的判别式,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式

专题：综合题

分析：（1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，抛物线的解析式可设成交点式：y=a（x+2）（x-4），然后将点C的坐标代入就可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成顶点式，即可得到顶点坐标．
（2）先求出直线CD的解析式，再求出点E的坐标，然后设点P的坐标为（m，n），从而可以用m的代数式表示出PM、EF，然后根据PM=

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EF建立方程，就可求出m，进而求出点P的坐标．
（3）先求出点M的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为y=x²-2x-8+c，然后只需考虑三个临界位置（①向上平移到与直线EM相切的位置，②向下平移到经过点M的位置，③向下平移到经过点E的位置）所对应的c的值，就可以解决问题．

解答：解：（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4）．
∵点C（0，-8）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，
∴-8a=-8．
∴a=1．
∴y=（x+2）（x-4）
=x²-2x-8
=（x-1）²-9．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-8，顶点D的坐标为（1，-9）．

（2）如图，
设直线CD的解析式为y=kx+b．
∴

0+b=-8 k+b=-9

解得：

k=-1 b=-8

．
∴直线CD的解析式为y=-x-8．
当y=0时，-x-8=0，
则有x=-8．
∴点E的坐标为（-8，0）．
设点P的坐标为（m，n），
则PM=（m²-2m-8）-（-m-8）=m²-m，EF=m-（-8）=m+8．
∵PM=

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EF，
∴m²-m=

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（m+8）．
整理得：5m²-6m-8=0．
∴（5m+4）（m-2）=0
解得：m₁=-

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，m₂=2．
∵点P在对称轴x=1的右边，
∴m=2．
此时，n=2²-2×2-8=-8．
∴点P的坐标为（2，-8）．

（3）当m=2时，y=-2-8=-10．
∴点M的坐标为（2，-10）．
设平移后的抛物线的解析式为y=x²-2x-8+c，
①若抛物线y=x²-2x-8+c与直线y=-x-8相切，
则方程x²-2x-8+c=-x-8即x²-x+c=0有两个相等的实数根．
∴（-1）²-4×1×c=0．
∴c=

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．
②若抛物线y=x²-2x-8+c经过点M，
则有2²-2×2-8+c=-10．
∴c=-2．
③若抛物线y=x²-2x-8+c经过点E，
则有（-8）²-2×（-8）-8+c=0．
∴c=-72．
综上所述：要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移

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个单位长度，向下最多平移72个单位长度．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程、根的判别式、抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线相切的问题转化为一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的关键，有一定的综合性．