Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．
（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；
（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）易证∠OCB=∠B，由条件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE，从而得到△COF是等腰三角形，过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，由等腰三角形的三线合一可求出CH，易证△CHF∽△BCA，从而可求出CF长．
（2）题中要求“△OMN与△BCO相似”，并没有指明对应关系，故需分情况讨论，由于∠DOE=∠B，因此△OMN中的点O与△BCO中的点B对应，因而只需分两种情况讨论：①△OMN∽△BCO，②△OMN∽△BOC．当△OMN∽△BCO时，可证到△AOM∽△ACB，从而求出AM长，进而求出CM长；当△OMN∽△BOC时，可证到△CON∽△ACB，从而求出ON，CN长．然后过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，可以求出NG．并可以证到△MGN∽△ACB，从而求出MN长，进而求出CM长．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，
∴OC=0B=OA=5．
∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．
∵∠DOE=∠B，
∴∠FOC=∠OCF．
∴FC=FO．
∴△COF是等腰三角形．
过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，
∵FC=FO，FH⊥OC，
∴CH=OH=

5

2

，∠CHF=90°．
∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，
∴△CHF∽△BCA．
∴

CH

BC

=

CF

BA

．
∵CH=

5

2

，AB=10，BC=6，
∴CF=

25

6

．
∴CF的长为

25

6

．

（2）①若△OMN∽△BCO，如图2，
则有∠NMO=∠OCB．
∵∠OCB=∠B，
∴∠NMO=∠B．
∵∠A=∠A，
∴△AOM∽△ACB．
∴

AO

AC

=

AM

AB

．
∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
∵AO=5，AC=8，AB=10，
∴AM=

25

4

．
∴CM=AC-AM=

7

4

．
②若△OMN∽△BOC，如图3，
则有∠MNO=∠OCB．
∵∠OCB=∠B，
∴∠MNO=∠B．
∵∠ACO=∠A，
∴△CON∽△ACB．
∴

ON

BC

=

CN

AB

=

CO

AC

．
∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，
∴ON=

15

4

，CN=

25

4

．
过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，
∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，
∴∠MNO=∠MON．
∴MN=MO．
∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，
∴NG=OG=

15

8

．
∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，
∴△MGN∽△ACB．
∴

GN

BC

=

MN

AB

．
∵GN=

15

8

，BC=6，AB=10，
∴MN=

25

8

．
∴CM=CN-MN=

25

4

-

25

8

=

25

8

．
∴当CM的长是

7

4

或

25

8

时，△OMN与△BCO相似．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，而将等腰三角形的三线合一与三角形相似相结合是解决本题的关键．