【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠CAB的平分线AD交于点D,过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)过点D作DF⊥AB于点F,连接BD.若OF=1,BF=2,求BD的长度.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)连接OD,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO=∠DAE,从而OD∥AE,由DE∥BC得∠E=90°,由两直线平行,同旁内角互补得出∠ODE=90°,由切线的判定定理得出答案;
(2)先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°,再由OF=1,BF=2得出OB的值,进而得出AF和BA的值,然后证明△DBF∽△ABD,由相似三角形的性质得比例式,从而求得BD2的值,求算术平方根即可得出BD的值.
解:(1)连接OD,如图:
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO,
∵AD平分∠CAB,
∴∠DAE=∠OAD,
∴∠ADO=∠DAE,
∴OD∥AE,
为⊙的直径,
∵DE∥BC,
∴∠E= 90°,
∴∠ODE=180°﹣∠E=90°,
∴DE是⊙O的切线;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵OF=1,BF=2,
∴OB=3,
∴AF=4,BA=6.
∵DF⊥AB,
∴∠DFB=90°,
∴∠ADB=∠DFB,
又∵∠DBF=∠ABD,
∴△DBF∽△ABD,
∴,
∴BD2=BFBA=2×6=12.
∴BD=
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点,求△BCP面积的最大值;
(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当△BMN是等腰三角形时,直接写出m的值.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与⊙O相交于E,F两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)证明:;
(3)若BC=8,tan∠AFP=,求DE的长.
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【题目】小寇随机调查了若干租用共享单车市民的骑车时间t(单位:分),将获得的据分成四组(A:0<t≤10,B:10<t≤20,C:20<t≤30, D:t>30),绘制了如下统计图,根据图中信息,解答下列问题:
(1)小寇调查的总人数是 人;
(2)表示C组的扇形统计图的圆心角的度数是 °;
(3)如果小寇想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人进一步了解平时租用共享单车情况,请用列表或画树状图的方法求出丁被选中的概率.
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【题目】构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,在计算tan15°时,如图.在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan15°.类比这种方法,计算tan22.5°的值为( )
A.B.﹣1C.D.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知函数y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中a,b,c是正实数,且满足b2=ac.设函数y1,y2,y3的图象与x轴的交点个数分别为M1,M2,M3,( )
A.若M1=2,M2=2,则M3=0B.若M1=1,M2=0,则M3=0
C.若M1=0,M2=2,则M3=0D.若M1=0,M2=0,则M3=0
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点(点在点的左侧),与轴交于点.垂直于轴的直线与抛物线交于点,,与直线交于点,若,记,则的取值范围为( )
A.5<s<6B.6<s<7C.7<s<8D.8<s<9
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的边BC在x轴上,顶点A在y轴的正半轴上,OA=2,OB=1,OC=4.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)设点M是x轴上的动点,试问:在平面直角坐标系中,是否存在点N,使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若抛物线对称轴交x轴于点P,在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形?若存在,写出所有符合条件的点Q的坐标,选择一种情况加以说明;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,半径OC⊥AB于点O,点D是的中点,连接CD、OD、BD.下列四个结论:①AC∥OD;②CD=BD;③△ODE∽△CAE;④∠ADC=∠BOD.其中正确结论的序号是( )
A.①②③④B.①②④C.②③D.①④
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