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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠CAB的平分线AD于点D,过点DDEBCAC的延长线于点E

1)求证:DE是⊙O的切线;

2)过点DDFAB于点F,连接BD.若OF1BF2,求BD的长度.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

1)连接OD,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO=∠DAE,从而ODAE,由DEBC得∠E90°,由两直线平行,同旁内角互补得出∠ODE90°,由切线的判定定理得出答案;

2)先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB90°,再由OF1BF2得出OB的值,进而得出AFBA的值,然后证明DBF∽△ABD,由相似三角形的性质得比例式,从而求得BD2的值,求算术平方根即可得出BD的值.

解:(1)连接OD,如图:

OAOD

∴∠OAD=∠ADO

AD平分∠CAB

∴∠DAE=∠OAD

∴∠ADO=∠DAE

ODAE

为⊙的直径,

DEBC

∴∠E 90°,

∴∠ODE180°﹣∠E90°,

DE是⊙O的切线;

2)∵AB是⊙O的直径,

∴∠ADB90°,

OF1BF2

OB3

AF4BA6

DFAB

∴∠DFB90°,

∴∠ADB=∠DFB

又∵∠DBF=∠ABD

∴△DBF∽△ABD

BD2BFBA2×612

BD

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