Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接CD、OD、BD．下列四个结论：①AC∥OD；②CD＝BD；③△ODE∽△CAE；④∠ADC＝∠BOD．其中正确结论的序号是（ ）

A.①②③④B.①②④C.②③D.①④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①如图，利用圆周角定理得∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠2=∠3，于是可得到结论；②利用等弧所对的弦相等即可进行判断；③利用AC∥OD，得到两组角相等，即可得到△ODE∽△CAE；④利用圆周角定理可计算出∠ADC=45°，而∠BOD=45°，则进行判断．

解：①如图，

∵点D是的中点，
即，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AC∥OD，所以①正确；

②如图连接BD

∵点D是的中点，
即，
∴CD＝BD，

所以②正确
③∵AC∥OD
∴∠2=∠3，∠EOD=∠ACE

∴△ODE∽△CAE

所以③正确

④∵OC⊥AB

∴∠AOC=∠BOC=90°

∵∠ADC= ∠AOC=45°，∠BOD=∠BOC=45°，

∴∠ADC=∠BOD，所以④正确．
故选：A．