Question

（1）如图，在锐角△ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想；
（2）已知∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=

3

5

，求cosA．

Answer 1

考点：解直角三角形,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）作BH⊥AC于H，如图，在Rt△ABH中，由勾股定理得AB²=AH²+BH²，由余弦的定义得AH=AB•cosA；在Rt△CBH中，由勾股定理得BC²=CH²+BH²，
再由CH=AC-AH得到BC²=（AC-AH）²+BH²=AC²-2AC•AH+AH²+BH²，然后利用等量代换得到即BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA．
（2）根据正弦余弦的关系得到cosA=

1-sin2A

，然后把sinA=

3

5

代入计算即可．

解答：解：（1）猜想：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA．
证明如下：作BH⊥AC于H，如图，
在Rt△ABH中，AB²=AH²+BH²，cosA=

AH

AB

，即AH=AB•cosA，
在Rt△CBH中，BC²=CH²+BH²，
而CH=AC-AH，
则BC²=（AC-AH）²+BH²=AC²-2AC•AH+AH²+BH²，
所以BC²=AC²-2AC•AB•cosA+AB²，
即BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA．
（2）∵sin²A+cos²A=1，
∴cosA=

1-sin2A

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

．

点评：本题考查了解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．会运用勾股定理和锐角三角函数的定义计算．