Question

如图①，点A、B、C在⊙O上，且AB=AC，P是弧AC上的一点，（点P不与点A、C重合），连接AP、BP、CP，在BP上截取BD=AP，连接CD．若∠APB=60°，解答下列问题：
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求证：△CDP是等边三角形；
（3）如图②，若点D和圆心O重合，AB=2，则PC的长为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）如图①，根据圆周角定理得到∠ACB=∠APB=60°，然后根据等边三角形的判定方法易得△ABC是等边三角形；
（2）如图①，由△ABC是等边三角形得BC=AC，再利用“SAS”证明△BCD≌△APC，得到CD=CP，∠BCD=∠ACP，接着证明∠DCP=60°，然后根据等边三角形的判定方法易得△CDP是等边三角形；
（3）如图②，由BP为直径，根据圆周角定理得∠PCB=90°，再利用△CDP是等边三角形得到∠OPC=60°，则∠PBC=30°；由于△ABC是等边三角形，则BC=AB=2，然后在Rt△PBC中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出PC的长．

解答：（1）证明：如图①，
∵∠ACB=∠APB=60°，
而AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）证明：如图①，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
在△BCD和△APC中，

BD=AP ∠DBC=∠PAC BC=AC

，
∴△BCD≌△APC（SAS），
∴CD=CP，∠BCD=∠ACP，
∵∠BCD+∠ACD=60°，
∴∠ACP+∠ACD=60°，即∠DCP=60°，
∴△CDP是等边三角形；
（3）解：如图②，
∵点D和圆心O重合，即BP为直径，
∴∠PCB=90°，
∵△CDP是等边三角形，
∴∠OPC=60°，
∴∠PBC=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2，
在Rt△PBC中，∵∠PBC=30°，
∴PC=

3

3

BC=

2 3

3

．
故答案为

2

3

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判定与性质；会运用三角形全等证明线段相等或角相等；会运用含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．