Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，b），且a：b=4：3，点C是AB的中点，以OC为直径作圆D，且圆D的直径为

5

2

，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）过点C作圆D的切线EF，交x轴于E，交y轴于F，求EF的长；
（3）P是线段OA上的动点（不与O、A重合），设P的横坐标为x，那么当x分别取何值时，以OP为半径的圆P与直线AB相交、相切或相离？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB=2OC=5，设OA=4t，则OB=3t，利用勾股定理得到AB=5t，则5t=5，解得t=1，即可得到点坐标为（4，0），B点坐标为（0，3）；
（2）⊙D交x轴于H，连接CH，如图1，先根据线段中点坐标公式得到C点坐标为（2，

3

2

），再根据圆周角定理由OC为直径得到∠OHC=90°，则OH=2，CH=

3

2

，
然后根据切线的性质得OC⊥EF，易证得Rt△OCH∽Rt△OEC，利用相似比可计算出OE=

25

8

，CE=

15

8

，再利用CH∥OF证明△ECH∽△EFO，于是可利用相似比可计算出EF；
（3）先讨论相切的条件：若⊙P与AB相切于G点时，连接PG，如图2，根据切线的性质得PG⊥AB，易证得Rt△APG∽Rt△ABO，利用相似比得到

x

3

=

4-x

4

，解得x=

12

7

，然后根据直线与圆的位置关系即可得到当0＜x＜

12

7

时，以OP为半径的圆P与直线AB相离；当x=

12

7

时，以OP为半径的圆P与直线AB相切；当

12

7

x≤4时，以OP为半径的圆P与直线AB相交．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵点C是AB的中点，
∴OC=

1

2

AB，
∴AB=2OC=2×

5

2

=5，
设OA=4t，则OB=3t，
∴AB=

OA2+OB2

=5t，
∴5t=5，解得t=1，
∴A点坐标为（4，0），B点坐标为（0，3）；
（2）⊙D交x轴于H，连接CH，如图1，
∵点C是AB的中点，
∴C点坐标为（2，

3

2

），
∵OC为直径，
∴∠OHC=90°，即CH⊥x轴，
∴OH=2，CH=

3

2

，
∵EF为⊙D的切线，C为切点，
∴OC⊥EF，
∵∠COH=∠EOC，
∴Rt△OCH∽Rt△OEC，
∴OC：OE=OH：OC=CH：CE，
∴OE=

OC2

OH

=

( 5 2 )2

2

=

25

8

，CE=

OC•CH

OH

=

5 2 • 3 2

2

=

15

8

，
∵CH∥OF，
∴△ECH∽△EFO，
∴

CE

EF

=

EH

EO

，即

15 8

EF

=

25 8 -2

25 8

，
∴EF=

125

24

；
（3）若⊙与AB相切于G点时，连接PG，如图2，P点坐标为（x，0）
∵与AB相切于G点，
∴PG⊥AB，
∵∠PAG=∠BAO，
∴Rt△APG∽Rt△ABO，
∴

PG

OB

=

AP

AO

，即

x

3

=

4-x

4

，
解得x=

12

7

，
∴当0＜x＜

12

7

时，以OP为半径的圆P与直线AB相离；当x=

12

7

时，以OP为半径的圆P与直线AB相切；当

12

7

x≤4时，以OP为半径的圆P与直线AB相交．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和直线与圆的位置关系的判定方法；理解坐标与图形性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．