Question

如图所示平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，8），若一次函数y=kx+2的图象平分矩形OABC的面积．
（1）求一次函数的解析式．
（2）求（1）中一次函数与矩形的交点坐标．
（3）设点D（-1，0），在一次函数图象上求一点P，使△ADP为直角三角形，求点P坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）求出矩形的中心坐标，再根据矩形的性质，过矩形中心的直线把矩形分成面积相等的两部分，然后代入计算即可得解；
（2）令x=0，x=4，利用一次函数解析式求解即可；
（3）分点D是直角顶点，点A是直角顶点，利用一次函数解析式计算即可；点P是直角顶点，设点P（a，a+2），过点P作PE⊥x轴于E，根据△APE和△PDE相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵点B的坐标为（4，8），
∴矩形OABC的中心坐标为（2，4），
∵一次函数y=kx+2的图象平分矩形OABC的面积，
∴2k+2=4，
解得k=1，
所以，一次函数的解析式为y=x+2；

（2）x=0时，y=2，
x=4时，y=4+2=6，
所以，一次函数与矩形的交点坐标为（0，2），（4，6）；

（3）若点D是直角顶点，则x=-1时，y=-1+2=1，
点P的坐标为（-1，1），
若点A是直角顶点，则x=4，y=4+2=6，
点P的坐标为（4，6），
若P是直角顶点，设点P（a，a+2），
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE∽△PDE，
所以，

AE

PE

=

PE

DE

，
所以，

4-a

a+2

=

a+2

a-(-1)

，
整理得，2a²+a=0，
解得a₁=0，a₂=-

1

2

，
当a=0时，a+2=2，
当a=-

1

2

时，a+2=

3

2

，
所以，点P的坐标为（0，2）或（-

1

2

，

3

2

）；
综上所述，△ADP为直角三角形时，点P的坐标为（-1，1）或（4，6）或（0，2）或（-

1

2

，

3

2

）．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了矩形的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，难点在于（1）熟记过矩形中心的直线把矩形分成面积相等的两部分，（3）分情况讨论．