Question

3．如图，直线y=-2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=$\frac{3}{2}$x相交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则P点坐标是（0，$\frac{13}{6}$）；
（3）在直线y=-2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立方程，解方程即可求得；
（2）设P点坐标是（0，y），根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD=x，根据S_△OBQ=S_△OAB-S_△OAQ列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则QD=-y，根据S_△OCQ=S_△OAQ-S_△OAC列出关于y的方程解方程求得即可．

解答 解：（1）解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+7}\\{y=\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$
∴A点坐标是（2，3）；
（2）设P点坐标是（0，y），
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴OP=PA，
∴2²+（3-y）²=y²，
解得y=$\frac{13}{6}$，
∴P点坐标是（0，$\frac{13}{6}$），
故答案为（0，$\frac{13}{6}$）；
（3）存在；
由直线y=-2x+7可知B（0，7），C（$\frac{7}{2}$，0），
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×3=$\frac{21}{4}$＜6，S_△AOB=$\frac{1}{2}$×7×2=7＞6，
∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x，y），
当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD=x，
∴S_△OBQ=S_△OAB-S_△OAQ=7-6=1，
∴$\frac{1}{2}$OB•QD=1，即$\frac{1}{2}$×7x=1，
∴x=$\frac{2}{7}$，
把x=$\frac{2}{7}$代入y=-2x+7，得y=$\frac{45}{7}$，
∴Q的坐标是（$\frac{2}{7}$，$\frac{45}{7}$），
当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD=-y，
∴S_△OCQ=S_△OAQ-S_△OAC=6-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$OC•QD=$\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×（-y）=$\frac{3}{4}$，
∴y=-$\frac{3}{7}$，
把y=-$\frac{3}{7}$代入y=-2x+7，解得x=$\frac{26}{7}$，
∴Q的坐标是（$\frac{26}{7}$，-$\frac{3}{7}$），
综上所述：点Q是坐标是（$\frac{2}{7}$，$\frac{45}{7}$）或（$\frac{26}{7}$，-$\frac{3}{7}$）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了交点的求法，勾股定理的应用，三角形面积的求法等，分类讨论思想的运用是解题的关键．