Question

11．如图，已知直线AB与正比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（5，5），与x轴交于点B（-$\frac{5}{2}$，0）．点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，以点P为顶点，作矩形PDEF，满足PD∥x轴，且PD=1，PF=2．

（1）求k值及直线AB的函数表达式；并判定t=1时点E是否落在直线AB上，请说明理由；
（2）在点P运动的过程中，当点F落在直线AB上时，求t的值；
（3）在点P运动的过程中，若矩形PDEF与直线AB有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得k值及直线AB的函数表达式，然后根据题意求得E的坐标，当然直线AB的解析式即可判断E在直线AB上；
（2）根据直线OA的解析式得出P的坐标，根据题意求得F的坐标，当然直线AB的解析式，即可求得t的值；
（3）表示出D的坐标，代入直线AB的解析式，求得t的值，再结合（1）即可求得矩形PDEF与直线AB有公共点时的t的取值范围．

解答 解：（1）∵直线AB与正比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（5，5），与x轴交于点B（-$\frac{5}{2}$，0）．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∴5=5k，$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=5}\\{-\frac{5}{2}m+n=0}\end{array}\right.$，
解得k=1，$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{3}}\\{n=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$；
∵点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t=1，
∴E（2，3），
把x=2，y=3代入y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$中成立，
∴点E落在直线AB上；
（2）∵点P为直线OA上，∴P（t，t），
∴F（t，t+2），
把F（t，t+2）代入y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$中得t+2=$\frac{2}{3}$t+$\frac{5}{3}$，解得t=-1；
（3）∵P（t，t），
∴D（t+1，t），把D（t+1，t）代入y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$中得t=$\frac{2}{3}$（t+1）+$\frac{5}{3}$，解得t=7，
∴若矩形PDEF与直线AB有公共点，t的取值范围为-1≤t≤7．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，图象上点的坐标特征，矩形的性质等，根据题意表示出D、E、F点的坐标是解题的关键．