Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）若AG=7、GF=3，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接DE交AF于H，先根据DF=EG，DF∥EG，判定四边形DFEG是平行四边形，再根据GF⊥DE，即可得出四边形EFDG是菱形；

（2）根据条件得到FH=GF=，AF=10，再根据Rt△ADF中，DH⊥AF，运用射影定理即可得到DF2=FH×FA，进而得出DF的长．

试题解析： (1)如图，连接DE交AF于H，

由折叠可得，AF⊥DE，DF=EF，∠DFG=∠EFG，

∵EG∥CD，

∴∠DFG=∠EGF，

∴∠EFG=∠EGF，

∴EG=EF，

∴DF=EG，

∵DF∥EG，

∴四边形DFEG是平行四边形，

∵GF⊥DE，

∴四边形EFDG是菱形；

(2)∵四边形EFDG是菱形，

∴FH=GF=，

∵AG=7，GF=3，

∴AF=10，

∵Rt△ADF中，DH⊥AF，

∴DF2=FH×FA，

即DF==.