Question

【题目】如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°．

（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．

Answer 1

【答案】（1）作图见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角ABC两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于一点；③作射线BE交AC与E，交⊙O于点D，则线段BD为△ABC的角平分线；

（2）连接OD，设⊙O的半径为r，可证△ABE∽△DCE，在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，得到AB=AC=r，得出△ADC是等腰直角三角形，在Rt△ODC中，得出DC==，由相似三角形面积比等于相似比的平方即可得到结论．

试题解析：（1）如图所示；

（2）如图2，连接OD，设⊙O的半径为r，∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=AC=r，∵∠ABD=∠ACD=45°，∵OD=OC，∴∠ABD=∠ACD=45°，∴∠DOC=90°，在Rt△ODC中，DC==，∴===．