Question

【题目】（1）如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 交 AC 于 F， 过点 F 作 DF∥BC， 求证：BD=DF．

（2）如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这种关系．

（3）如图 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）BD+CE＝DE，证明过程见详解；（3）BD﹣CE＝DE，证明过程见详解

【解析】

（1）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠DFB＝∠CBF，∠ABF＝∠CBF，推出∠DFB＝∠DBF，根据等角对等边推出即可；

（2）与（1）证明过程类似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出结论；

（3）与（1）证明过程类似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出结论．

解：（1）∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵DF∥BC，

∴∠DFB＝∠CBF，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴BD＝DF；

（2）BD+CE＝DE，

理由是：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵DF∥BC，

∴∠DFB＝∠CBF，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴BD＝DF；

同理可证：CE＝EF，

∵DE＝DF+EF，

∴BD+CE＝DE；

（3）BD﹣CE＝DE．

理由是：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵DF∥BC，

∴∠DFB＝∠CBF，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴BD＝DF；

同理可证：CE＝EF，

∵DE＝DF﹣EF，

∴BD﹣CE＝DE．