Question

【题目】如图, 在.

(1)用尺规作图方法，按要求作图:

①作的高;

②作的平分线，分别交于点;

(要求:保留作图痕迹，不写作法和证明)

(2)求证:点在的垂直平分线.上; .

(3)在(1)所作的图中，探究线段AE与BF的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）证明见解析；（3）AE=2BF，证明见解析.

【解析】

（1）根据过已知直线外一点垂线的步骤作图；

（2）根据作角平分线的步骤作图；

（3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，证明DA=DB即可；

（4）通过证△ADE≌△BDC得出AE=BC,再根据等腰三角形三线合一的性质得出BC=2BF即可得出结论.

（1）①如图1，以B为圆心，BC为半径画弧，交AC于M;以C、M分别为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P；作射线BP交AC于D,线段BD就是要求作的△ABC的高；

② 如图1，以A为圆心，以任意长为半径画弧，交AB,AC于G,H；以G,H分别为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于N点；作射线AN，交BC于F点，射线AF就是所要求作的∠BAC的平分线；

（2）∵∠BAC=45°，∠ADB=90°，

∴ ∠ABD=∠BAC=45°.

∴ DA=DB，

∴ 点D在AB的垂直平分线上.

…

（3）∵ AB=AC，AF是∠BAC的角平分线，

∴ BC=2BF，AF⊥BC.

∴ ∠DAF+∠C=90°．

∵ ∠DBC+∠C=90°，

∴ ∠DAE=∠DBC.

又 ∵ DA=DB，∠ADE=∠BDC=90°，

∴ △ADE≌△BDC （ASA）.

∴ AE=BC，

∴ AE=2BF.