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    【题目】如图正方形先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，形成了中间深色的正方形及四周浅色的边框，已知正方形的面积为16，则四周浅色边框的面积是________．

    【答案】15

    【解析】

    先求出图中阴影部分的面积，再中找到等量关系两倍的正方形的面积=四周浅色边框的面积-两个小三角形的面积+二倍的阴影部分的面积，列出方程求解.

    解：∵正方形的面积为16，

    ∴正方形ABCD的边长为4.

    ∵正方形ABCD先向右平移1个单位，

    ∴图中阴影部分的长为4-1=3.

    ∵又将正方形ABCD先向上平移1个单位，

    ∴图中阴影部分的宽为4-1=3.

    则图中阴影部分的面积为33=9.

    设四周浅色边框的面积是x,则有x-1+9+9=16+16.

    ∴x=15.

    ∴四周浅色边框的面积是15.

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    （1）求的值；

    （2）已知点，过点P作平行于x轴的直线，交直线于点C，过点P作平行于y轴的直线交反比例函数的图象于点D，当时，结合函数的图象，求出n的值．

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    A.线段B.线段C.线段D.线段

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    【题目】2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了条各具特色的趣玩路线，分别是：.“解密世园会”、.“爱我家， 爱园艺”、.“园艺小清新之旅”、.“快速车览之旅”．李明和张春各自在这条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．

    （1）李明选择线路.“ 爱我家，爱园艺”的概率为 ；

    （2）用画树状图或列表的方法，求李明和张春恰好选择同一线路游览的概率．

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    【题目】自从开展“创建全国文明城区“工作以来，门头沟区便掀起了“门头沟热心人“志愿服务的热潮，区教委也号召各校学生积极参与到志愿服务当中．为了解甲、乙两所学校学生一周志愿服务情况，从这两所学校中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长(单位：分钟)数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

    a．甲校40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图(数据分成6组：)：

    A：　　　　B：

    C：　　　　D：

    E：　　　　F：

    b．甲校40名学生一周志愿服务时长在这一组的是：

    60 60 62 63 65 68 70 72 73 75 75 76 80 80

    c．甲、乙两校各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下：

    学校

    平均数

    中位数

    众数

    甲校

    75

    90

    乙校

    75

    76

    85

    根据以上信息，回答下列问题：

    （1）_____________；

    （2）根据上面的统计结果，你认为____①_____所学校学生志愿服务工作做得好(填“甲“或“乙“)，理由______②________________________________________________________；

    （3）甲校要求学生一周志愿服务的时长不少于60分钟，如果甲校共有学生800人，请估计甲校学生中一周志愿服务时长符合要求的有_______人．

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    【题目】新型冠状肺炎给人类带来了灾难.口罩是抗击新冠肺炎的重要战略物资，国家在必要时进行价格限制，以保持价格稳定.某公司生产的口罩售价与天数的函数关系如图所示（曲线部分是以轴为对称轴的抛物线一部分）．

    （1）求口罩销售价格（元）与天数（天）之间的函数关系式；

    （2）若这种口罩每只成本（元）与天数之间的关系为：．那么这种口罩在第几天售出后单只利润最大？最大利润为多少？

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    【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴负半轴交于B，与正半轴交于点C（8，0），且∠BAC＝90°．

    （1）求该二次函数解析式；

    （2）若N是线段BC上一动点，作NE∥AC，交AB于点E，连结AN，当△ANE面积最大时，求点N的坐标；

    （3）若点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S．问：是否存在一个S的值，使得相应的点P有且只有2个？若有，求出这个S的值，并求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

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    【题目】探究：如图1和2,四边形中,已知，，点，分别在、上，．

    （1）①如图 1,若、都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，则能证得，请写出推理过程；

    ②如图 2，若、都不是直角，则当与满足数量关系_______时，仍有;

    （2）拓展：如图3,在中，,，点、均在边上,且．若，求的长．

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    【题目】探索应用

    材料一：如图1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC边上的高为　 　，用a．c和θ表示△ABC的面积为　 　．

    材料二：如图2，已知∠C＝∠P，求证：CFBF＝QFPF．

    材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，最早出现在1815年，由W．G．霍纳提出证明，定理的图形象一只蝴蝶．

    定理：如图3，M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，连结AD和BC交PQ分别于点E和F，则ME＝MF．

    证明：设∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，

    ∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，

    PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y

    由

    即

    化简得：MF2AEED＝ME2CFFB

    则有： ,

    又∵CFFB＝QFFP，AEED＝PEEQ，

    ∴，即

    即，从而x＝y，ME＝MF．

    请运用蝴蝶定理的证明方法解决下面的问题：

    如图4，B、C为线段PQ上的两点，且BP＝CQ，A为PQ外一动点，且满足∠BAP＝∠CAQ，判断△PAQ的形状，并证明你的结论．

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