Question

【题目】探索应用

材料一：如图1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC边上的高为　 　，用a．c和θ表示△ABC的面积为　 　．

材料二：如图2，已知∠C＝∠P，求证：CFBF＝QFPF．

材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，最早出现在1815年，由W．G．霍纳提出证明，定理的图形象一只蝴蝶．

定理：如图3，M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，连结AD和BC交PQ分别于点E和F，则ME＝MF．

证明：设∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，

∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，

PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y

由

即

化简得：MF2AEED＝ME2CFFB

则有： ,

又∵CFFB＝QFFP，AEED＝PEEQ，

∴，即

即，从而x＝y，ME＝MF．

请运用蝴蝶定理的证明方法解决下面的问题：

如图4，B、C为线段PQ上的两点，且BP＝CQ，A为PQ外一动点，且满足∠BAP＝∠CAQ，判断△PAQ的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】材料一：；材料二：证明见解析；材料三：△PAQ的形状为等腰三角形，证明见解析．

【解析】

材料一：作AD⊥BC于D，由三角函数定义得AD＝AB×sinB＝csinθ，由三角形面积公式得△ABC的面积＝BC×AD＝acsinθ即可；

材料二：证明△CFQ∽△PFB，得出＝，即可得出结论；

材料三：证S△ABP＝S△ACQ，S△APC＝S△AQB，证△ABP∽△ACQ，由S△ABP＝S△ACQ，证出AP＝AQ，即可得出结论．

材料一：

解：作AD⊥BC于D，如图1所示：

则sinB＝，

∴AD＝AB×sinB＝csinθ，

∴△ABC的面积＝BC×AD＝acsinθ，

故答案为：csinθ，acsinθ；

材料二：

证明：∵∠C＝∠P，∠CFQ＝∠PFB，

∴△CFQ∽△PFB，

∴＝,

∴CFBF＝QFPF；

材料三：

解：△PAQ的形状为等腰三角形，理由如下：

∵B、C为线段PQ上的两点，且BP＝CQ，

∴CP＝BQ，

∴△ABP与△ACQ等底等高，△APC与△AQB等底等高，

∴S△ABP＝S△ACQ，S△APC＝S△AQB，

∵∠BAP＝∠CAQ，

∴∠BAP+∠BAC＝∠CAQ+∠BAC，

即∠PAC＝∠QAB，

∴sin∠QAB＝Psin∠PAC，

∵S△AQB＝ABAQsin∠QAB，S△APC＝ACAPsin∠PAC，

∴==1,

∴=，

∴△ABP∽△ACQ，

∵S△ABP＝S△ACQ，

∴=＝1，

∴AP＝AQ，

∴△PAQ的形状为等腰三角形．