Question

【题目】如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上。

（1）请直接写出下列各点的坐标：

A ，B ，C ，D ；

（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2。

①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；

②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值。

　

图1 图2 备用图

Answer 1

【答案】（1）A（0，3），B（4，3），C（4，－1），D（ 0，－ 1）：（2）①当点P的坐标为(3,0)或(-1,8)；

②

【解析】试题分析：（1）令x=0，得到点A的坐标，再根据点A的纵坐标得到点B的坐标，根据抛物线的顶点式和矩形的性质可得C．D的坐标；

（2）①根据待定系数法可得直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x2﹣4x+3），则点H（x，x﹣1），点G（x，3）．分三种情况：1°当x≥1且x≠4时；2°当0＜x＜1时；3°当x＜0时；三种情况讨论可得点P的坐标；

②根据相似三角形的性质可得，再根据二次函数的增减性可得△KPH面积的最大值．

试题解析：解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，﹣1），D（0，﹣1）．

（2）①设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），由于直线BD经过D（0，﹣1），B（4，3），∴，解得： ，∴直线BD的解析式为y=x﹣1．

设点P的坐标为（x，x2﹣4x+3），则点H（x，x﹣1），点G（x，3）．

　1°当x≥1且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图①．

∵PH=2GH，∴（x﹣1）﹣（x2﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，∴x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4．

当x2=4时，点P，H，G重合于点B，舍去，∴x=3，∴此时点P的坐标为（3，0）．

　2°当0＜x＜1时，点G在PH的反向延长线上，如图②，PH=2GH不成立．

　3°当x＜0时，点G在线段PH上，如图③．

∵PH=2GH，∴（x2﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]，∴x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4（舍去），∴x=﹣1．此时点P的坐标为（﹣1，8）．

综上所述可知，点P的坐标为（3，0）或（﹣1，8）．

②如图④，令x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，∴E（1，0），F（3，0），∴EF=2，∴S△AEF=EFOA=3．

∵△KPH∽△AEF，∴，∴．

∵1＜x＜4，∴当时，s△KPH的最大值为．