Question

4．已知关于x的方程x²+（2k-3）x+k²-3=0有两个实数根x₁，x₂，且x₁+x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$，求k的值．

Answer 1

分析 方程的两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2k-3），x₁•x₂=k²-2，根据题意得出方程求得方程解即可．

解答 解：∵关于x的方程x²+（2k-3）x+k²-3=0有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-（2k-3），x₁•x₂=k²-3，
∵x₁+x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴k²-3=1，
则k=±2．

点评 此题考查根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁，x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．