Question

14．在△ABC中，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：
（1）如图，已知△DEF，∠E=60°，DE=4，DF=$\sqrt{13}$，求EF的长度；
（2）通过合理的构造，试求cos105°．

Answer 1

分析 （1）运用余弦定理即可求出EF的值；
（2）由余弦定理可构造出△ABC，求解即可．

解答 解：（1）由余弦定理，可得cosE=$\frac{D{E}^{2}+E{F}^{2}-D{F}^{2}}{2DE•EF}$，
∵∠E=60°，DE=4，DF=$\sqrt{13}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{16+E{F}^{2}-13}{2×4EF}$，
解得EF=1或3；
（2）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AD⊥BC，AD=1．

∵在RT△ADC中，AD=1．
∴AC=2，CD=$\sqrt{3}$，
∵在RT△ADB中，AD=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，BD=1，
∴在△ABC中，AB=$\sqrt{2}$，AC=2，BC=$\sqrt{3}$+1，
∠BAC=180°-30°-45°=105°，
利用余弦定理可得cos105°=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{2+4-（\sqrt{3}+1）^{2}}{2×\sqrt{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，解题的关键是能构灵活运用余弦定理构造出三角形．