Question

4．如图，已知AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，DF=DC，则∠ABC的大小是（　　）

• A． 30度
• B． 45度
• C． 60度
• D． 无法确定

Answer 1

分析 由AD⊥BC，BE⊥AC，根据垂直定义可得∠ADB，∠ADC及∠BEC都为直角，又∠AFE与∠BFD为对顶角，可得三角形AEF与三角形BDF相似，由相似三角形的对应角相等可得∠FAE=∠FBD，又一对直角相等，加上已知的BF=AC，利用AAS可得三角形ADC与三角形BFD全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=BD，又AD与BD垂直，可得三角形ABD为等腰直角三角形，从而求出∠ABC的度数．

解答 解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
又∵∠AFE=∠BFD，
∴△AEF∽△BDF，
∴∠FAE=∠FBD，
在△BFD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠ADC}\\{∠FBD=∠FAE}\\{BF=AC}\end{array}\right.$，
∴△BFD≌△ACD（AAS），
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABD，
又∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=$\frac{180°-90°}{2}$=45°．
故选B．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，学生做题时应挖掘题中隐含的条件，比如对顶角相等，垂直可得直角，结合图形，构造证明三角形全等的条件来解决问题，其中全等三角形的判定方法有SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形），熟练掌握三角形全等的判定方法是解本题的关键．