Question

12．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA₁=A₁A₂=A₃A₄=A₄A₅，过点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅分别作x轴的垂线与反比例函数的y=$\frac{2}{x}$（x≠0）的图象相交于点P₁、P₂、P₃、P₄、P₅，得直角三角形OP₁A₁、A₁P₂A₂、A₂P₃A₃、A₃P₄A₄、A₄P₅A₅并设其面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄、S₅，则S₅的值为$\frac{1}{5}$，以此类推S_n=$\frac{1}{n}$（n≥1的整数）

Answer 1

分析 根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$中k的几何意义再结合图象即可解答．

解答 解：∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=$\frac{1}{2}$|k|．
∴S₁=1，S_△OA2P2=1，
∵OA₁=A₁A₂，
∴$\frac{1}{2}$S_△OA2P2=$\frac{1}{2}$，
同理可得，S₂=$\frac{1}{2}$S₁=$\frac{1}{2}$，S₃=$\frac{1}{3}$S₁=$\frac{1}{3}$，S₄=$\frac{1}{4}$S₁=$\frac{1}{4}$，S₅=$\frac{1}{5}$S₁=$\frac{1}{5}$．
以此类推，S_n=$\frac{1}{n}$．
故答案是：$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{n}$．

点评 主要考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=$\frac{1}{2}$|k|．