Question

12．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当点P是AB的中点且AB=2，则BF的长为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；
（2）首先证得△PAD≌△EQP，可以证得△BEQ是等腰直角三角形，可以证得∠EBQ=45°，即可证得∠CBE=45°；
（3）由点P是AB的中点且AB=2，得到AP=PB=1，通过△PBF∽△PQE，即可得到结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
在△PAD与△EQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EQP}\\{∠ADP=∠EPB}\\{PD=PE}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△EQP，
∴EQ=AP，AD=AB=PQ，
∴AP=EQ=BQ，
∴∠CBE=∠EBQ=45°；

（3）解：∵点P是AB的中点且AB=2，
∴AP=PB=1，
∵FB⊥AB，EQ⊥AB，
∴BF∥EQ，
∴△PBF∽△PQE，
∴$\frac{PB}{PQ}=\frac{BF}{QE}$，
∵PQ=AB=2，EQ=AP=1，
∴BF=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，是一道相似形综合题．正确探究三角形相似的性质是解题的关键．